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CPTAVOAOTEO -_ TAVOLE LOGARITMICHE
DEL SIGNOR
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CORRETTÉ DA MOLTI ERRORI OCCORSI NELLE EDIZIONI "©
INGLESE E FRANCESE
E corredate. DI UNA NUOVA TEORICO-PRATICA SPIEGAZIONE DEI LORO USI DA STANISLAO CANOVAI E GAETANO DEL - RICCO
DELLE SCUOLE PIE
Pubblici Profefforî di Filofofia e Matematica
EDIZIONE PRIMA ITALIANA
IN FIRENZE MDCCLXXXII. Me a —— — — —_ «—«{- - «°°. «—-<—.’° .._ ©. NELLA STAMPERIA DI? PIETRO ALLEGRINI ALLA CROCE ROSSA
CON APPROVYAZIONE.
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PREFAZIONE
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La rioreto dando alla luce le Lezioni Elementari di Matematiche del Stg. As. MARIE promettemmo ai no- | ffri Giovani una nuova Edizione delle Tavole Trigono- metriche, era noffra intenzione di unire a quefle în un fol Volume la Tavola dei Numeri Primi del Sig. Lam- bert , la Tavola degli Elementi det Numeri del Sig. Pigri, la Tavola Inverfa degli Elementi medefimi da moi calcolata, la Tavola dei Divifori dei Numeri del Sig. Ansema, e la Tavola delle Potenze dei Numeri sntorno a cui ci occupiamo da qualche tempo e che ormai è ridotta alla fua perfezione: così fr farebbero avuti in uso ffeffo Volume tutti i fuffidj di prima ne- celfità per la foluzione degli innumerabili Problemi di varia indole a cui P Aritmetica, l Algebra e P Ana- lift impegnano quafi ad ogni paffo un Matematico .
Ma dopo aver confiderate con attenzione e meffe anche alla prova le Tavole Trigonometriche di Depar- cieux, del Sig. Toaldo, dello ffeffo Sig. MARIE, ed altre affai di minor nome, le trovammo tutte di un
merito molto inferiore alle famofe Tavole del Sig. GARDI- I wer, won folo perchè mancanti della correzione ed am- ‘ piezza opportuna, ma anche perchè ton quelle il riful tato di alcuni Problemi per altro Elementari fe allonta- va flranamente dal vero e conduce in graviffimi errori chiunzue troppo facilmente fe perfuafe della fua efattez- | za. Abbandonammo pertanto tl noffro primo penfiero , ie riferbando a miglior tempo P Edizione delle Tavole i rimanenti, vipudiammo alcuni Fogli già impreffi delle Tricomometriche per mettere tra le mani dei noffri Gio- vani quelle di GarDINER divenute otmai rarifime, e portate dalla rarità medefima «ad un prezzo che fu-
‘ pera di gran lunga le comuni forze della fiudiofa Gio- | x ventù . |
La difpofizione di quefie Tavole è così bene imma- ginata che appena ft è potuto farvi qualche piccolo can- giamento per migliorasla. Solo ne abbiamo tolte. alcu-
ne fuperfluità, e tra queffe i Logaritmi. Logiflict, | quali furono parimente omeffi come non neceflari dal
| celebre Affronomo il Sis. Giufeppe Toaldo nell’ Edizio-
ne Italiana delle Tavole Affronomiche del Sig. De la Lande: ma in ricompenfa fi fono aggiunti ai Loga- ritmi dei Numeri i Gradi o Ore coi loro Minuti primi e fecondi, fl fon difpoffte in una comoda Tavoletta le | Parti Propovrzionali onde fervano egualmente ai Loga- ritmi dei Numeri e a quelli delle Funzioni del Circo- lo, fi fono aumentati fino a venti s decimali dei primi
130 Logaritmi Iperbolici, e ciò che è più intereffan di tutto, oltre alle replicate revifioni e alle mon indifi renti fatiche a cui volentieri ci fiamo fottopofti per ev ‘tare ogni più leggiero errore , abbiamo corretti non fa rutti quelli dell’ Edizione Francefe già pubblicati nel L bro periodico — Connoiffance des Temps ==, 224 mo tè altri ancora che noi medefimi 0 con È offervazione col calcolo abbiamo fortunatamente (coperti. Il più grande per di tutti 3 cangiamenti che fi fo | fatti a quefP Opera è la Spiegazione delle Tavole de | Logarstmi. Gli Editori Franceft fi flimarono in debito d | darla quale ff trova nell Originale Inglefe ; noi all'in | contro abbiamo creduto opportuno di tralafciarla quafi affat- | to per foffituirvene una interamente nuova di nofira mano, led ofiamo fperare per una parte che il Pubblico ne re- | flerà foddisfatto egualmente che di quella di GARDINER, pregi famo ficuri per D altra che î Giovani Matema- tici ne ricaveranno un profitto affai maggiore. In fat ti gli (fel: Editori Francefi convengono che i Preliminari i di GarpINER fono difettofifimi, che’ banno bifogno di | fcbiarimento in molti luoghi, di precifione in molti altri le che peccano in generale nell inutile e faffidiofa profu- fione delle formule e dei fimboli: al che può aggiungerf tiche è quella in fomma una Pratica cieca e fpogliata d di ogni principio, incapace perciò di produr nei Giovam dl quella perfuafione che fola contenta lo fpirito, e che me- | | vita fola il nome di cognizione e di fcienza .
Noi dunque cì proponemmo tutti quefli difetti per evitargli, e ci lunfichiamo dieffervi riufciti. Richiaman- do le Pratiche Logaritmiche ai principy fu cui fe appoggia la cofiruzione delleTavole, abbiamo efaminati tusti i Cafi del- Problema Diretto ed Inverfo dei Logaritmi, ne abbia- mio vifchiarate le Regole con Offervazioni e con Efempy , e quando le operazioni troppo sntrigate non ci avrebbero permefo di efprimerci o tanto chiaramente o tanto di- moffrativamente quanto lo efigevano le noffre mire, al- lora ‘fiamo ricorfi alla dottrina fempre feconda e fempre luminofa delle Serie, da cui abbiamo ottenuti con mag- gior ficurezza e fpeflo con egual brevità i rifultati che fi bramavano. Merita a queffo propofito una particolar riflefione la Serie che abbiamo data al Cafo VIII. del Problema Diretto: Keill è il primo che ne abbia par- lato: ma oltre che quella Serie è fata impreffa nelle fue Opere erroneamenté e con dei termini falfi, P Autore ba lafcia- to ai fuoi Lettori il penfiero di indovinare d'onde ella nafca, e in qual modo debbano combinarfi le Serie di Halley per ottenerla; noi, per quanto ci è noto, fiamo i primi che impiegando le volgari Serie dei Logaritmi l abbiamo felicemente foiluppata e corretta , ed abbiamo anche i primi offervato che ella ba il pregio di fervire univerfalmente all'invenzione dei Logaritmi in qualfi- voglia Siffema . I
Del rimanente i nofiri Preliminari, qualunque effi fieno, faranno almeno un nuovo elogio alle maravigliofe
“n siii DIZIONARI DE TE RE TNT
Lezioni del Sig. As. MariE; poichè del perpetuo ufo che moi ne abbiamo fatto citandone quafi ad ogni linea gli infegnamenti, fe comprenderà facilmente che quel Grand Uomo non lafcia che defiderar nel fuo Libro, e che Volfio medefimo, non che gli Elementari di inferior fama, non avrebbe forfe potuto fomminifirarci un mumero di fonda- menti così completo per dare ai noffri precetti tutta P efienfione e tutto il lume, di cui era capace P arzomento che abbiam trattato. .
-
SPIEGAZIONE ED USI n DELLE TAVOLE | -
DEI LOGARITMI|
Aura prima Tavola ha per titolo Zogaritmi ordinarj; sa Numeri. Moftra ella nel fuo vertice i Gradi o l’Ore;jl dividendofi gli uni e l'altre in 60 minuti primi, e ciafcuni primo degli uni e dell’altre in 60 fecondi ( Zez. 97), una! ftelfla Tavola ferve ad ambedue.
Nel fuo principio è è divifa in tre colonne: nella prima è: feritto S. cioè Secondi da 1% fino a 60”; nella feguente è: fcritto N. cioè Numeri che da 1 vanno fino a 10800 e e rappre- fentano egualmente o numeri affoluti o fecondi di Grado n° fecondi d’ Ora: nella terza è fcritto Logarit., cioè Logarit-! mi che da 1 fino a 1000 fon corredati di ventidecimali; e fi offervi una volta per fempre che in quefti Logaritmi come: in tutti gli altri feguenti è fopprefla la caratteriftica chel facilmente fi rileva dal dato numero ( Zez. 291). | i La parte più grande della Tavola è diftinta in tredici: colonne. Nella prima fon notati i fecondi al folito. Nella fe-| iguente è fcritto N. cioè Numeri che da 10oco vanno fino aj tooco, e i loro Logaritmi fi hanno nella proffima colonra 0; che fe a qualunque di quei numeri N. fi unifca qualunque ;delle cifre verticali 0, 1, 2; 3, 4» 5’ 6,7,8, 9, il Lo-|. igaritmo del nuovo numero (quanto ai quattro ultimi deci-| mali, poichè i tre primi comuni a molti fi veggono ifolati nella colonna o.) fi trova nella rifpettiva colonna fottopofta] a quelle cifre; con quefto artifizio fi ha il Logaritmo di tutti i numeri da 1000 fino a 100000. Nella decimaterza colonna] è feritto D. cioè Differenze che rifultano dalla fottrazione| di due contigui Logaritmi (il cui numero fia di cinque figu- re) non facendo per lo più gran cafo dell’ ultimo decimale che non è quafi mai efatto; le differenze dei Logaritmi il cui numero è di quattro figure fono preffo a poco le ftefîe
A
[fe fi tolga ai Logaritmi l’ultimo decimale. Tutte quefte Dif Iferenze fi troveranno riunite în una Tavoletta al fine delle gran Tavole dei Logaritmi col titolo di Tavoletta delle parti proporzioneli ; il fuo ufo fi intenderà nel feguito.
Finifce la Tavola coi Logaritmi dei numeri da 10000 fi- no a 10800; quefta ripetizione di alcuni Logaritmi non è punto inutile perchè compie il diftefo di 3 interi Gradi o Ore.
Del refto per l’ordinarie occorrenze baftano i primi cin- que decimali (Zez. 290): ma in tal cafo convien fempre ag- giungere 1 all’ ultimo decimale fe il feguente tralafciazo fu- peri s ( Zez. 88), e trafcurare in confeguenza con la caute- la medefima anche l’ ultime cifre delle differenze.
II. La feconda Tavola ha per titolo Logaritmi dei Se- nt e Targenti. Ella può diftinguerfi in tre parti. La pri- ma contiene in alto il Logaritmo dei Seni e Tangenti dei primi quattro Gradi ‘e reciprocamente in baffo quello dei Co- feni e Cotangenti dei quattro ultimi di fecondo in fecondo. La parte feguente comprende in alto il' Logaritmo dei Cofe- ni e Cotangenti degli fteffi primi quattro Gradi e in baffo
quello dei Seni e Tangenti dei quattro ultimi di dieci in die- {|ci fecondi. La terza finalmente ci dà parte in alto e parte in baffo il Logaritmo dei Seni, Cofeni, Tangenti e Cotangen- ti del rimanente dei Gradi fino a 90° di dieci in dieci fecondi.
Tanto bafta per trovare il Logaritmo di un qualunque numero di Gradi ‘e minuti, effendo già noto ( Lez. 550) che dati i Seni di vn quadrante di circolo fon dati quelli di tut- to il circolo: onde fe il dato numero # di Gradi e minuti fia tra 90° e 180°, bifognerà prender nella Tavola il Loga- ritmo di 180° n; fe fia tra 180° e 270° fi prenderà quel- lo di a — 180°; e fe fia tra 270° e 360°, quello di 360° — n.
III. La terza Tavola è intitolata Logaritmi JIperbolici. Ella è il principio di una Tavola affai maggiore che tut- itavìia fi defidera, benchè mentre fcriviamo fi abbia fotto gli occhi un Manifefto Francefe che ci promette una Tavo- la di Logaritmi Iperbolici da 1 fino a 20000 corredati di 21 decimali. Intanto per gli ordinarj bifogni ci ferviremo di iquefto Saggio ove abbiamo pofti i Logaritmi da 3 fino a {j130 con venti decimali e da 131 fino a 1000 con fette.
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PROBLEMA PRIMO DIRETTO
Dato un numero intero n trovarne il Logaritmo ordinario.
I. Sia n un numero comprefo tra 1 e 10000.
1°. Sia a = 913. Scrivo fubito la debita caratteriftica 2 (Lez. 291) e cercato il dato numero nella colonna N. dei Logaritmi ordinarj trovo alla fua deftra nella colonna Leg. 9604708; onde L 9013 =2, 9604708.
2°. Sia #—= 4908. Scrivo la caratteriftica 3 e cercato il numero dato tra le colonne N., trovo alla fua deftra nella colonna © le quattro cifre 9046 alle quali preponendo le tre fuperiori cifre ifolate 690 della ftefla colonna ©, ‘ottengo iL 4908 = 3, 6909046,
Osservazione. Se il numero dato fia efpreffo in gradi o ore con minuti primi e fecondi, come 2° 58° 30%, nel ver- tice della Tavola cerco i gradi o ore 2; nel primo fpazio orizzontale ove è fcritto M. cerco 58; fcorro lungo quefta colonna 58 per la fila N. dei numeri finchè io fia in linea oriz- ‘zontale col 30 feritto” a finiftra nella colonna S., e trovo ino710” = 2° 58° 30”, onde il Logaritmo di 10710 farà ‘quello del dato numero.
II. Sia n un numero comprefa tra 10000 e 100000.
Sia n= 35623. Prefe nella colonna N. le prime. quat- [tro cifre 3562, fcrivo fubito la conveniente caratteriftica 4: ‘con i tre primi decimali 551 che veggo ifolati e proffrn mamen- jre fuperiori a 3562 nella colonna 0; a quefti unifco i quat- :itrro decimali 7305 che nella colonna 3 (ultima cifra del dato numero) fono in dirittura di 3562, ed ho il Logaritmo cer- Cato 4; 5517305 »
Osservazione. Ho detto che debbono unirfi alla caratte-|| riftica i tre decimali ss1 profimamente fuperiorî a 3562: ma fe la prima cifra 7 dei quattro ultimi decimali nella colonna 3 foffe minore della prima cifra 6 dei quattro ultimi nella colonna o, converrebbe unire alla caratteriftica i tre decima- li proffimamente inferiori: onde il Logaritmo di 35647 non è già 4, 5510230, ma 4, 5520230.
III. Sia n ws numero compoffo e î fuoi componenti fieno tra i limiti della Tavela.
Sia n= 396738000 ZI5X3IX 79X 10800; fommando dunque i Logaritmi di quefti numeri farà |
L15000 000000 0 0 0 0 è 131760912 ( Lez. 88) e 000 0000 000. 0 1,4913617 e 000 0 000 28,8976271 +L 10800 . . +... ++... 52410334238
fomma L 396738000 ........ — 8, 59 5985038
IV. Sia n wn numero primo oltre i limiti della Tavola. Immaginò una . Logaritmica ( Lez. 729) ed in effa due e. sia dx, dx' intercette da tre Vos ordi-
nate y 9", y”. In quefta Curva fi ha ( Lezì 806 ) si <=
x e AI == n : ma y, y° effendo affai proffime poffon prenderfi in pratica per eguali; dunque dy':dy::dx' :dx; ma attefa la gran vicinanza dell’ordinate fi ha preffo a poco d ==y —y e df=y —y; dunque y—y :S — yi E ‘: dx, e perciò y° —yAdAy —y:YT—-y: : dx tdx:dx, cioe yes 39) — giidd A dx:dx, proporzione i cui tre | primi termini fon noti; poichè pofta n= y', faranno y ed 9° i due numeri contigui al dato, l’ uno inferiore e l’altro fuperiore, e quindi y° — y è la differenza tra quefti due numeri contigui; y'— y è la differenza tra il dato e l’infe- riore; dx + de è la differenza tra i Logaritmi dei due con- tigui. Trovata dunque con quefto mezzo la differenza dx ‘tra il Logaritmo del numero cercato e il Logaritmo del nu- ‘mero inferiore, cioè tra y' ed y, bafterà fommar quefta dif- ferenza col Logaritmo di y e la fomma darà il cercato Loga- ritmo di y =. | Sia n= 357854 che fuppongo numero primo. I due più ‘proflimi numeri contigui al dato di cui poflano averfi dalla ‘Tavola i Logaritmi, fono 357850 (= 35785X 10) e 357860 Pena farà dunque . differenza dei numeri contigui, 10,
Vai i LL vico idstiniti P-LI10.. 60006 0 900 0 0 0 00 0 00 0 0 21) 0000000
onde L 357860 . Lacie e 00009 0 0022515537132 | a
L 35785. 000000000 0 00 0 00 0 SD4,5537010 rp L 10 0 0 0 07 0 0 0 0 0 000 0 00 0 0 0 1) 0000000
onde 1357850 lange) 0000000 00 0 5,5537010 2°. differenza dei contigui Logaritmi, 122 3°. diff.tra i numeri dato ed inferiore, 4
faccio dunque la proporzione; 10: argo = . 49 ( Lex. 88.); dunque L 357854 . . 0.0. . + 225,5537059
OssERVAZIONI. 13. E' chiaro che quefto metodo non è ri. gorofo: ma la proporzionalità farà tanto più giufta quante più grandi faranno i numeri. Perciò-i primi mille fon fenza diffe- renze : la loro troppé grande ineguagiianza rende i calcoli po- co efatti.
23. Ma fe fia n >> 10060000, il metado ordinariamente non ha più luogo, perchè crefcendo i numeri fcemano le dif- ferenze dei Logaritmi, coficchè infine effe fvanifcono affatto e la regola che le efige diviene inutile. Quefto inconveniente
nò evitarfi aumentando i decimali dei Logaritmi, onde vi on delle Tavole con Logaritmi.di 20 decimali ( Zez. 290 ). Noi daremo in feguito un facil metodo per averli. |
| 3°. La differenza tra i Logaritmi di 357860 e di 357850 G è trovata 122 e la loro caratteriftica è s. Ora la ftella diffe. renza &i trova tra i Logaritmi di 35786 e di 35785 » ma la loro caratteriftica è 4. La ragione di ciò fi vede a un tempo ftel- fo e s'intende dal paffato efempio, ovei decimali dei Logarit- mi di 35786 e. di 35785 non vengono alterati dall’aggiunta del Logaritmo di 10, e la fola caratteriftica fi rifente di que (aggiunta: cioè per la proporzione decupla del fiftema ordi- nario dei Logaritmi ( Zez. 289. 305 ), fe un numero divien maltiplo o fummaltiplo di 10, la caratteriftica del fue Logarit- mo crefcerà 0 fcemerà di tante unità quante fon le volte che il «o le moltiplica o lo divide, ma î decimali di effo refteran- no intatti e coftanti.
4°. Il quarto proporzionale dopo-10 , 122 ,4 fi è trovato 49 ; © fe nella Tavoletta delle parti proporzionali fi cerchi la differenza 122 ( la quale effendo nel margine della Tavola fi chiamerà mergisale), il numero corrifpaondente nella colonna 4 fi troverà appunto 49: cioè fi fon calcolati tutti i quarti proporzionali occorrenti e fe ne è formata la Tavoletta.
5*. Riflettendo ftii termini 10, 122,4: 49 della propor-
zione , fi vede-1°, che ‘il primo e terzo termine (on to e 4 perchè il dato numero # ha fei.cifre; fe ne avefle fette, fa- rebbero 100 e 40; fe ne aveffe otto, farebbero 1000 e q00! ec.; 2°, che il fecondo e quarto termine 122, 49 fon rotti de-: cimali, l'uno == 0,0000122 perchè i Logaritmi hanno ferre! decimali, l’altro = 0, 0000049, e perciò lo abbiamo ficuato! fotto i due ultimi decimali del Logaritmo. Quindi fe foffe per] efempio n = 35785439; il quarto proporzionale potrebbe. averfi o con l' gnica proporzione 1000:0,0000123 :: 439: Q+0@000054» O con le tre 50 : 0,0000122:: 4: 0, 0000049 100 : 010000122:: 3 : 000000037
1000 :.0,0000123 ;: 9 : 0, 000000109
| 0,0000053(79 = 54 (Zez. 88). Quefte ultime offervazioni rendono più economica la di- fpofizione dei Logaritmi e riducono la foluzion del Problema: alla fegaente | RecoLa Pratica. Sia # == 10785962. I°. Ne feparo 1’ ultime tre cifre 9,6, 2 onde le reftanti fieno nei limiti della: Tavola, e fcrivo il Logaritmo »,0328201 di 10785: II°. Cer- co nella Tavolezta la differenza marginale 403, lango la quale trovo fotto le cifre feparate 9,6, 2 le parti 363,242, 81, ifcrivo 363 fotto l’altime cifre del Logaritmo, 242 fotto 363 in modo che l’ultima cifra 2 efca in fuori a deftra, e 81 fot-|f to 242 nel modo fteffo: III°. Faccio la fomma di tutto e riget- Ito le cifre dopo la fettima , aggiungendo 1 alla fertima fe le rigettate fuperano $, 0 50, 0 500 ( Zez. 88 ). Ecco l' Ope- razione
- Jdato.... 10785963 Numeri AMM ivo 10785... .fuoLog.#,0328201.. 9° l 363 parti di {o per la diff. marg. 403 242 2 81
Logaritmo cercato con la caratteriftica —7:0328589(01. V. Sia n un rotto comune. Sia g = 2, dunque Ln —=-La —+ Lb ( Zez. 298): on-
de fegue | Di 1°. Che quando il rotto è improprio cioè maggior dell
‘unità » il fuo Logaritmo è fempre pofitivò. Sia s= ca = 1}
La ci farà ME Lo °° è. 0. 0 0 Î e è 0.0 0. è 0. = 0,9542425
— L 7 de 480 0 006.0 è 0 0.0 ,° TO, 8450980
refto LZ . e ® ® ° L) C) . LL) ® . ® 0, 1091445 2°, Che il Logaritmo d’un rotto propriamente detto, o} minor dell’ unità, è fempre negativo. Sia n=; farà
L2 . . ) . e ) ® e ° e ld ° == 0,3010300 — L 3 0 °. e 0° °- CD) 0 e ec os . == 0,4771212
relto L > . ri ° e e . 93 e e e ® 770; 1760912
Per
«ma i Logaritmi negativi riufcendo molefti per le riduzioni che efigono, fi è immaginato un altro metodo per aver pofi- tivi i Logaritmi dei rotti. i
| Giacchè L---=L (ax-j-)= Le +L -=Le + Li j_ Lb (Lez. 298) è evidente che fe il Logaritmo dell'unità non fia più come prima o, ma to, il Logaritmo del rotto e diventerà pofitivo. In fatti prefo n = sd farà
L: . è . ® . C) è ° e . ® I)
— Li ® ® ) e ® L_] e e ® ® ) ®
0,3010300; 10 0000000
VRURZINI
fomma eo 0.0 è © 0.0 0.0.0 è 0 è. 0.0 0. 10,30 i 0300 o L3 ° ° () . e . e . . ° e r) 0,4771212! reto LE LL...
>. ° 0° 0 0 . == 9,8239088! (Quefta operazione può farfi anche più brevemente, poichè a-
1s5d0h L1—-L3, ed effendo Li==10,0000000, la fot- trazione di L3 da Li fi fa a occhio, cifra per cifra, fcriven- |do foltanto il refiduo. Quefto refiduo è il Complemento Arit-
metico sì famofo in tutti i Libri di Trigonomegrìa e sì utile in tutti i calcoli che ella efige. Sia n=
- La. è 6a 0 0 6 è è è è 073010300 -—+ Complem. Aritm. del Log. 3. . .==9,5228788
fomma Li come fopra ». . .... .,==9,8239088
— n
OsservaAzIONI. 1°. Se il denominatore del dato rotto fof- fe maggiore di 10000000000 e foffe all’ incontro piccoliffimo il numeratore, il: Logaritmo del rotto ad onta dell’artifizio fpiegato potrebbe reftar negativo: in tal cafo non fi farebbe più L 1== 10 ,0000000 ma LI==100,6060000, ovvero L 1 == 1000 , 0009000 ec. i ui :
2*. Il Logaritmo di un rotto divenendo pofitivo in vir- tù di una diecina agglunta alla fua caratteriftica, come fi è vito, per avere in fine il vero rifultato di un calcolo lo- garitmico bifogna fopprimere le diecine fittizie che fi ag- giunfero per ‘comodo, cioè tante smezo #22 quanti furono i Complementi Aritmetici introdotti; e dico sero 472, perchè fenza ciò i Logaritmi tornerebbero negativi come prima: ri- guardo poi a quell’ «ra bafta ricordarfi che ella reltò per farne a fuo tempo l’ufo opportuno, come diremo altrove.
Segue di qui che il Logaritmo del prodotto di un nu- mero r di rotti eguali o ineguali ha una caratteriftica con tante diecine di troppo quante fono l’unità -, giacchè il iLogaritme di ciafcun rotto involve un Complemento; on- de perchè quefto Logaritmo abbia la forma dei Logaritmi dei rotti, bifogna togliere alla fua caratteriftica le diecine r
— I, Siani x i X r= (7) onde La==3 Li ì farà
L3 . .e= 014771213 -t Co. L8 . .—= 9,0969100
L-- . .== 9,5740313, € moltiplicando per 3=r,
3 Li . » 3-28, 7220939 cioè, poichè r—-1i=2,
3 LE . == 8, 7220939.
Segue ancora che il Logaritmo del quoziente di due rot- ti non ha nella caratteriftica alcuna diecina di troppo, giac- chè i Complementi fi elidono fcambievolmente nella fottra- zione; onde quando il rotto divifore*è minor del dividen- do, non vi è bifogno di regola per le diecine della caratte. Iriftica: ma nel cafo oppofto , affinchè il Logariemo del quo- ‘ziente abbia la forma dei Losgaritmi dei rotti è forza a3- giungere una diecina alla caratteriftica del dividendo, fen- [za di che il quoto farebbe negativo. E perciò fe la divifio-
Canna
ine degeneri in eftrazione di una radice del grado r ( Lez. 177) \bifogna aggiungere alla caratteriftica del Logaritmo del dato ‘rotto fe diecine r—1 e quindi efeguir la divifione per r; ‘poichè eftrar la radice del grado r da un numero è lo fleflo «che dividerlo e fuddividerlo per la fua radice tante volte me- no una quante unità fono in r, cioè le volter—1 ( Zez. 139): una la radice r di un rotto, la quale è quì il divifore , è ‘maggior del rotto medefimo, che è quì il dividendo( Zez. 139). ‘e fi è veduta pur ora che in quefto cafo la caratteriftica del dividendo dee aumentarfi d’una diecina ; dunque per eftrar la radice del grado r da un rotto, debbono aggiungerfi alla caratteriftica del fuo Logaritmo le diecine r—1.
Efempj. 1°. Sian== >-:——, onde Le=L-+-—-L TL. farà L3 e_o os 0 o. 6 0 è è è0 0 0,4771213
— Co.L 4 e è ds (è (0 è è è a a DO, 79079400 ve è 000 000 è è 0 è è 0 9,8756613
Li 6# 6 6 04 0 è è i O 3 OCQOOLO
! -+ Co.L 2 PR SI I E I I I I 9,6989700]
L- © e è. s 0 a 0 o. 0. o, —= O, 6989700
3 dla = ; onde L_ L n e sè. 0 0 0 0. 0. = 0,1760913
2°. Sia sp: onde La =L ara
L-, aumentata la caratteriftica . = 19, 6989700 3
e TE)
0008 0 000 . = 9,8750613]
unde L-- — L ra so e è e _ s © ©» pro] 9,8239087
3
3*.Sian=V sno =( sli n onde La — Dren, ; fan $47 547
L276 . . . è 0? 0 è, IO
-— Co. L 547 . ® C) e C) di . e ® ® n 7» 2620127
onde L 270 e e 0 o. e os es è. o. — 9 ’ 7029218 o
ma r=3edr5 —i="23; dunque aggiungo 20 I
onde ho .. +... 29,7029218|
che divifo per 3 dì L(2- è +. + = 919009739]
Segue infine che volendo fervirfi del Complemento per aver più fpeditamente i Logaritmi dei rotti impropr) bifogna| infine rigettar dalla loro caratteriftica le diecine che i com-|
E : 9 plementi vi avranno introdotte. Sia, come fopra,a=-—; 7
—= 0,9542425| o = 9,1549020)
onde L=, foppreffa la diecina," . +. .== 0,1091445
VI. Sia n sn rotto decimale. Un rptto decimale è un rotto comune che ha per deno-| minatore 10, 100, 1000 ec.; dunque per le cofe dette fe
. Ò u 9 6 ne avrà facilmente il Logaritmo. Sia n=0,3647= 4.
> 10000 farà
L36047 è è. è è 0 0 0 0 è 22 3,5619358 «+ Co. IL. 10000 è è. è è è è è. è = 6,0000000
onde Lo »3647 0 è. 0 è 0 ds o. ‘o
9,5619358
VII. Sta n un numero intero unito ad un rotto comune 0 de- cimale .
Riduco # ad un fol rotto e il fuo Logaritmo, che fi ha come fopra, farà il richiefto. Sia a = 3647093 = 3647093 Li
000 farà eo è e © o °.
1a
È 2 ed è quefta la formula che darebbe il Logaritmo di # con
L 36470, caratt*. 6 . 6, 5619358
Parti di 9, diff*. 120. +... . = 108
Parti di 3, diff?. 120 . è. . è. = 3,6 +Co.L 1000 . è». . è è 0 0 è è a 2 7,0000000 onde L3647,093 è >. «+ è + è + + = 3,5619470
VIII. Sia n un numero qualunque di cui fi voglia il Logarit- mo con r2, 18,20 ec. decimali.
Decompongo il dato numero s fe è compofto, e quando niuno dei fuoi componenti ecceda 1000, è manifefta la folu- zion del Problema. La difficoltà dunque fi riduce al cafo in cui # o qualche fuo componente fuperiore a 1oco fia inde- componibile o primo.
E’ chiaro che n effendo in quefto cafo un numero impari, n-— 1 ed#-+1 faranno pari, e perciò potranno averfì i lor Logaritmi con 12,18 ec. decimali o immediatamente quandu 1 lor componenti non eccedano 1000,0 mediatamente comin- ciando l'operazione che fiamo per prefcrivere dai componenti ftefli maggiori di 1000, e applicandola quindi al dato nume- rom.
Pofto ciò, fe nelle equazioni L(a-+z)=La-++ ia fi.)
° 2° - %
— — — ecneLl(a—-z2)=La—-- — ‘24 34 4
g* g3
“3 7] — ee. ( Lez. 302 ) fi faccia a = 3,2=1,; 24 34
e fi reftituifca il modulo A che peri Logaritmi iperbolici.. iove A = 1, non ferviva, avremo
L(s 1) =Ln_--——______-—__—-_—_— ec
sn 39 qnt snî Gn
e fommando quefte due equazioni e riducendo, fi ha
A A A A A Lat L(s-41)-+L(1-1)—-2LfMi-——-—_-—_-——_—-——-—(€C.,ciot
9° ant 395 458 su'
A A A A A L(5-41) 4+L (n) +++ gprs
Cualli ” 2” 3” 4n Sn
defiderati decimali. Ma effendo nel noftro calo A=... i ( Lez. 304) e quindiriufcendo nojofiffimo il cal-
2302585092 ec. colo , ritengo i primi due termini L (+ 1) +L(n—1)eilde- oa comune 2 che non entrano in ferie, e col metodo dei ‘coefficienti indeterminati ( Zez. 276) cerco una nuova ferie
A 0% * I eguale certamente ad — + —— ++ —— ec. ma più facile a Pia ant né ì calcolarfi, e vi introduco perciò la differenza 4 dei due Loga-. ritmi L(8+1)eL ( 3 —— 1) che pure è data. Pongo:
dunque
AAA A ed(85,0 ala
a 204 308 4a > cin Loeea n
| I AOOGÀ |
pesi L(n+1) Ln n= 432 fe uec.(Le2,302); 39° sn
‘dunque |
Abate 2A 3A Lee.) (© De
tant coli TU 303" sa i Farr )
I ‘membro nel Lg trovo
sAB 2AB 2AB 2AB 2AB +—— +-+ ani
== —— —— ie ec. n° 344 sn5 "nt 9n°° sAC 2AC 2AC 2AC n —— —+ —— —— — — ec. A 2AD 2AD 2AD ant g9 323 sn'° cc. 306 3 39! A 2AF — —— + — ec, 408 me°° — —- ec su'°
‘Paragonando cra i termini omogenei mi viene 1°. B= 1.
2
ì d é 1814 19034 onde ia ferie cercata è — + —— + + SI LI 28 1283 18085 75605" 1134008 ec., e perciò l'equazione divieneLa =. . .. +... .... L L d. i. 7 di 181 m 1903 Ai — _ cent —_— — A ( DErAE DE, 6n* 90n* 3789n5 — 56700n% )
i ‘ è 2 La ferie contenuta in quefta equazione è convergentiffi- ma , poichè fin dal namero 1001 poflono averfi dodici decima=
: I on cip ME d I. li col folo primo termine —, diciotto coi primi due—(1+ ) 2% 2% 6n*
eric di; a e venti coi primi tre al = + ch Infatti vogliafi il Logaritmo di 1001 = # L(2-+1)-Li100:-L2+L501= 3,00086772153122691249 L(3—1)=L 1000... è + = 3:00000000000000000000
L2+1)+L(0_-1). 00° —= 6,00086772153122691249
to 0000 61 A 61132003249 + è. 22 0}00000043342733827518
2% 2002 d 0,00086772151322691249 — ——————————————— 1141
«222 0,0000000000000720936 1293 .12036036012 i 7209303
sd 0,00607405071858838743
—— —= == 0,0 000000000 18095 180901801800900180 2109009022999 0995
fomma 6,0008681 5495863728133 che divifa per 2 dà Lu =L 1001= 3,00043407747931864067
‘37° o n I Offerveremo quì di paffaggio che la ferie — (1+ i ec. ) col
refto del fecondo membro non ci dì folamente il Logaritmo ordinario di », ma vale egualmente a trovarne il Logaritmo iperbolico , anzi il Logaritmo di qualunque poflibil fiftema di [Logaritmi. La ragione è manifefta; il modulo A non entra in quefta equazione: perciò ella può riguardarfi come l' univerfa- iffima equazione dei Logaritmi in qualfivoglia fiftema .
IX. Sia nun numero di gradi e minuti e fi voglia il Loga- ritmo del fuo feno, cofeno, tangente o cotangente.
E' noto ( Lez. 544. 545 ) che crefcendo i feni e le tan- genti, fcemano i cofeni e le cotangenti, onde le parti propor zionali che fecondo le regole date fi fcrivono fotto il Loga- ritmo. proffimamente inferiore per avere il cercato, debbono fommarfi nei feni e tangenti, e fottrarfi nei cofeni e cotan- genti. Sia dunque n = 42° 22° 48”.
L fen. 42° 22° 40” . .. . == 9 8286702 Parti di 8”, differenza 230, fono + 184!
deter @-[ò
onde L fen. 42° 22° 48” . ... = 9 ,8286886:
L cof. 42° 22° 40” .. . = 9 ,8684780 Parti di 8”, differenza 192, fono
L cof. 42° 22° 48° o . e » —— 9 ,8684626: L tang. 42° 22° 40” . . ». = 9 19601922, Parti di 8”,differenza 423, fono —+ 338
L tang. 42° 22° 48” . . *. 9 19602260. L cot. 4>° 22° 4o” . ... oa Parti di 8”, differenza 423 fono — 338
onde L cot. 42° 22° 48”. ..., = 10,0397740
OssERVAZIONI 1, Quando il dato RaBiSro ha. dei minuti: Il Mi v
terzi, e quarti ec. come n = == 43° aL 51 43 sù 48 , ridu- co in decimali i 48 partendogli per 6 ed ho Jo: , 8, che
nuovamente divifi per o danno a , 68; e ripetendo la divi- 1 1t
fione per 6 ottengo e » 728; onde n = 43° 4I s1, 728, LI
e la differenza tra quefto e il proffimamente minore 43° 4I uU LI
50, è I, 728: ma poichè nella Tavoletta delle parti pro:
porzionali non fi hanno quelle degli interi con rotti, con- ul
vien cercarle per 1 , 728 con la folita proporzione 10: n
220:: 1, 728: 22 X 1, 728 = 38; e però Lfena= 9,8393821 + 38 = 9,8393859. Nel modo fteflo converrà cercar le parti proporzionali ogni volta che la differenza dei
Logaritmi farà maggiore di 452, oltre il qual numero non fi e- ftende ia Tavoletta; intorno alla quale fi avverta che fi fono ometffe le parti proporzionali delle differenze minori di 6, co- me le differenze ftelle fono omeffe nelle Tavole Trigonome-! metriche, perchè l’une e l'altre fi vedono e fi calcolano a colpo d' occhio.
23 Già fi fa come può averfi il Logaritmo delle Fonni e
cofecanti (Zez. 566). La formula fen v.p=2 fen? — ?
( Lez. 555) ovvero R fenv. p==1 Sent p dà quella dei feni veri quando pure occorra; poichè farà .L {es v. p gi==L2-+2 L fer — p- LR; onde fi troverà per e- fempio L fen v. 84° 45° 36” = 9,9584072.
AVVERTIMENTO
Coi metodi fteffi fi troverebbe il Logaritmo Iperbolico di un dato numero qualunque: ma per potergli ufare farebbe ne- ceffaria una Tavola di Logaritmi Iperbolici che giungeffe al- meno fino a 10000; poichè fino a 1000 le differenze fono troppo grandi, come di fopra fi è detto.
Per continuar dunque la noftra Tavola con fette decima- li, bafta 1° trovare il Logaritmo dei numeri cpmpofti fom- mando quelli dei componenti; 2° trovare il Logaritmo dei numeri primi # per mezzo della formula già dedotta di fopra
L(n+1)+L(s-1)+—
( ZLez. 302 )La—= 2: 0 dell’al-
a
d L(n +1) +L(n-1) +77
tra più univerfale L s = : COSÌ:
2 ;
fi avrà il Logaritmo 6,9167151 di 1009 =», fe fommatii
Logaritmi 6,9177057 e 6,9157235 di 1010 = -—+ 1 € di d
1008 ==#-— 1, e-aggiunto alla fomma — = — =... 0,0000010 , fi divida in mezzo il rifultato 13,83: VISI
Del refto da 3162 in poi la quantità — diviene inu- L,
< ee T_——_—————6——
—_——_ . | -—_
—
C
‘tile ci Logaritmi dei numeri primi fi hanno con la fola for- | L(n+1)+L(s—1)
mula La== *così il Logaritmo 8,0624328
a di 3173 potrebbe averfì col folo divider per metà 16,1248655, fomma dei Logaritmi di 3174 e di 3172.
Che fe fi voleffero formar delle Tavole coi numeri in-
termedj frazionarj, come quelle del Sig. Lambert e di Gar- diner, bafterebbe ricordarfi che L-— = "L 4—L5, onde
per efempio Ln01==L-—=L 101 -—L 100 =.....
0,0099503 ec.
PROBLEMA SECONDO INVERSO
Dato un Logaritmo ordinario } trovare il fuo numero,
I°. Abbia il dato Logaritmo tutti i decimali che fi trova- mo nella Tavola. |
1°. Sia /= 40319333. Cerco î tre primi decimali 031 tra ì tre che veggonfi ifotati nella colonna o, e gli altri quattro nella fila medefima di 031, o nelle feguenti ‘intercette tra 031 e 032, € glî trovo fotto la colonna 3: ferivo fubito il numero 1076 che è orizzontale a 9333 nel .la colonna N. e vi unifco la cifra 3 che è verticale a 9333 ‘nella colonna 3, onde il numero diviene 10763: ma la ca- ratteriftica del Logaritmo è 4; dunque (Zez. 291) il nume- ro cercato dee aver cinque cifre e farà appunto 10763. | - 2°. Sia 4== 0,4900569. Cerco come prima i tre decì- mali 490 nella colonna 0, e dovrei cercare i quattro ulti- ,mi 0569 nelle file contenute tra 490 e 491: offervando pe- ‘tò che accanto a 490 è fcritto 0990 > 0569, deduco che :0569 dee effere al di fopra di 490 ove infatti lo trovo fot- ito la’ colonna 7; onde operando come fopra, il numero cer- cato farebbe 30907: ma la caratteriftica del Logaritmo è 0; «dunque (Zez. 291) il numero cercato dee avere una fola cifra d’interi e farà perciò 3:0907. 3°. Sia f= 8,6000031. Cerco i tre primi decimali 6oo, ed offervando, come nel paffato efempio, che accanto a 600 è fcritto 1013 > 0031, veggo che quefti ultimi quattro de- cimali debbono eflere al di fopra-della fila 600, e ve gli
‘i mt 5 ii
BIEPEIIZZ RIA RE III
"© TAR jrrovo infacti fotto la colonna 1; onde .il numero cercato fa-! Irebbe 39811: ma la caratteriftica del Logaritrmo è 8; dun-. que il numero cercato dee aver nove cifre e farà 398110000.
Osservazione. Quando il numero trovato, come it 10763: del primo efempio, efprime minuti fecondi da ridorfi .in Gra-: di o Ore con minuti primi e fecondi, lo cerco tutto ‘diftefo. nella colonna N., e orizzontalmente alla fua finiftra nella co- lonna S. gli corrifpondono 23%; verticalmente fopra di lai fon fegnati 59’, e in principio della facciata ‘è fcritta ‘2°, cioè Gradi o Ore 2; onde 10763” == 2° 59° 23”.
IL Abbia il dato Logaritmo | dei decimali in parte diverfi de quelli della Tavola. - Ri e i
RecoLa Pratica » Sia / == 3,5619468. I°. Tolgo:da .ef- fo il proffimamente inferiore »,5619358.di cui fcrivo il nu- mero 36470, ed ho 110. H°. Cerco nella Taveleeta delle par- ti proporzionali la differenza marginale 119, e notate le parti 107 che trovo nella fua dirittura più vicine a 110, unifco al numero già fcritto la cifra 9 corrifpondente a quette parti, onde il numero diviene 364709. III°. Giacchè 107 < 110 cioè ( N. IV, Off. 5) 1070 < t100 ( = 1070 + 30), pren- do nella dirittura. medefima di 119 quelle parti che più fil accoftano a 30 cioè 24,e le ferivo al folito fotto 107 di modo: che l’ultima cifra efca in-faori, unendò fntanto al nu- mero già fcritto la cifra 2. IV". Poichè la fomma' 1r09(4 < i10, cioè 10940 « 11000 (= 10940 +60), prendo nel- la fteffa dirittara di 119 le parti 60, o le più vicine a 60, le quali pongo colla folita fcala fotto 24 e unifco al namero 3647092 la cifra corrifpondente 5. Così ottengo îa fomma 1 10 e il namero cercato diviene, attefa la caratteriftica, 3647,0925.
Ecco l' Operazione .._ + dato... . 3,5619468 Logaritmi proff, infer. +, 5619358... fuo numero 36470 . è».
119 i 107 9 Parti per la diff. marg. 119X .24 loro cifre 2 6o i 5
110(00 uvumero cercato attefa la caratteriftica +... 3647:0925 IIl. Abbia tl date Logaritmo 1 an Complemento Aritmetico. ‘ Sia l===9,8239088.Cerco per la paflata il fuo numero co-
een nn... ——’_’’_’—’’‘’0}e.—0 ‘°_° 0‘ «c’* ‘GG GGiuiì
me fe la caratteriftica foffe vera; quindi poichè la caratteri» fica fupera infatti la vera d'una diecina, feparo dieci cifre dal numero trovato, aggiungendo degli zeri a finiftra fe il nu- mero delle cifre fia minor di dieci.
dato.... 9,8239088
aio Log. { profl. inf. »,8238849 —fuo num®.66663..
44 |pargi per la diff. marg. 66 Do loro cifre | —. d 44(0 = 44
numero per la caratt. 9... 0.00 a 0 è 6666366000 numero cercato attefo i Compil. . +. ..0. 06666366000
dato....8,7220939
Es. 1° + Log. prot inf. *,7220907 —— fuo num”. $2734 . + 32
parti per | la diff. marg. 83 Ces loro cifre si P gi(6= 32
Inumero per a caratt. 8... L..0000000 000% 527343800 nemero cercato attefo il Compl. . .... ... 0,0527343800 < Osserv. Se il dato Logaritmo involveffe un Complemento de- rivato da L 1 == 100,0000000, o da Li == 1000,0000000 ec., farebbe facile di adattar proporzionalmente la regola fteffa all diverfa caratteriftica . IV°. Sia | un Logaritmo ordinario con 15, 20 ec deci- reali , ‘di caì fl voglia il numero n con 10, 11 ec. cifre, °. Sarebbe facile la folazione di quefto Problema fe fi avelle un metodo per trovar le prime 10, tI ec. cifre di una qualunque potenza di un dato numero qualunque. Sia infatti. + ,00000000000000001! il minimo Logaritmo di 17 decimali e: fia a il fuo numero efpreffo con 10, II ec. cifre ( infegne- remo in breve come fi trovi ): fi avrà danque . . . . + (+ ,00000000000000001 ) = La... . +. è. è è +» (+,00000000000000001 ) 2:= 2 Laz= La”. +. . +... (+ ,00000000000000001 )3 == 3 La==La* ec.; e in gene- rale fe 4 efprima i decimali del dato Logaritmo /, farà
(*,00000000a00000001 ) d= Laf=Ls, e quindi u=e8. Bafterebbe dunque alzare il numero 4 alla potenza 4 per a- vere il defiderato numero sn: ma non vi è metodo per la
formazione delle potenze , il quale fia praticabile nel noftro calo.
9°. E'ftata per altro fu quefti o fimili. fondamenti cal- colata una piccola 7avelerta Anti-Logaritmice, col cui foccor- {fo può fpeditamente averfi n con 10, o 11 cifre. Noi la ri portiamo quì tanto più volentieri quanto che ella può riguar: darfi come un compimento della gran Tavola dei Logarit: mi, giacchè per fuo mezzo fi avranno efpreffe. con un fuffi ciente numero di decimali tutte le frazioni improprie che f trovano tra I e 500000.
In quefta Tavoletta i Lagaritmi fon compofti di cinque fisare non comprefa la caratteriftica, e i Numeri ne hanne tredici. E’ facile di continuarla a piacere; poichè fatto . +,00001 = La,e«,00179 =Lb, avremo +,00001 —++:00175 (=+,00180)==La-+Lb5==Lad; onde moltiplicando 4 pe: b rifulterà il numero 1064153254121 corrifpondente al Loga ritmo «,00180; ec. ec,
Si noti intanto che i Logaritmi quì fi affomigliano ai Nu.
meri naturali e crefcono continuamente di 1, cioè di =‘ i (e)
mentre all'incontro i Numeri fi affomigliano ai Logaritmi, nor folo perchè fon corredati delle differenze come i Logaritmi. ma anche perchè nel calcolo fi dee coftantemente riguarda: come un intero la loro prima cifra e come decimali tutte | altre, alle quali poi per mezzo della particolar caratteriftic: dei Logaritmi daremo il vero valore. l
Si noti ancora che in queîta Tavoletta, come pure n una porzione dei Logaritmi delle Funzioni circolari, fon po fte per comodo in cima .a ciafcuna colonna le cifre comun che formano il principio di ciafcun verfo della colonna me defima . | Seo
Suppofto tutto ciò, e premefla la Tavoletta ; diftinguere mo tre cafi. o |
L. Num. 00 100 2370 200/00000 00000/26116
001]00230 26116|26646 902/00460 $532762|27177
003 |00690 79939 3g102 004100931 07045/3
ooslorisi 006/013
da DO
909/0207 54133
DIO DII 012 013 014 015 016 017 018
039108984 11516
D$7|13133 35173 >58/13363 91530 159'
237
a 28767 16464912929 01611 93947|29828 01842 23775 30358 30888 Sa! 31418 02533 1043931949 02763 48 38 33480 02993 80868133009 073224 13877
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Daa00 230): 04 59795 05046 97048 05297 34831 05527 73145
05758 11989 05988 51364 go 13:91109 o 31705 06679 72671 |41497 o6gio 14168 07140 56196 ©7370 9H754 SIRPIA: 43 07831 85461 08062 29611 08292 7429! 08523 19502 08753 65244
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to 50282 10828 30800 piego qnda? 1128903418 11519 $5538 1275008179 13198061351 12211 15054
}|12441 69387
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00
060 o61
TAVOLETTA ANTI:LOGARITMICA Dif. fL.
— Num. |Dif. gL.| Num. -| Dif.
Foo 230 13825 05837|57950 14055037 7|53481 14236 22268|59011 14516 81279|59543 14747 40822|60073 14978 00895160605 15208 61500|61136 1543923636|61666 1566984302|52198 15900 46500|62728 1613109228/63250 16361 72488/637091 16592 36279/64321t 16823 00600|64853
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079|18206 97684
17284 30837|65915 1751496752/66447 1774563199 06977 17976 30176/6750
68040 18437 05724|68571 18668 3429569102 1889903397 1912973030 1936043194 19591 13890 1982185117 20052 56875 20283 29164
2051401985|73351
o 0[{00000 NNINNNNN Ar ]d vo dd me O n Lr.‘ 0° _r_ ot: C.C: ISEE IE TA EI nine I A cit ninna
4| 21667 74057
2074475336 20975 49220 sistooitit 2143698580
21898 50065 22129 26605 2236003676 1150081379 22821 59413
23052 38078 23283 17275 23513 97003 2374477262|8
10423975 58053|81323
117 118
119
34206 39376 24437 31230 2468803615 04898 86532 2512969981 25360 53461 15591 35472 25822235158 26053 09090
26283 951968663 2651481834/87169 26745 69003|87701 26976 56704|88233 27207 44937|88764 27438 33701189296
00
Too
oratore Pe
2/23
130|2766922997|089827 121|27900 12824|090359 12228131 03183/090891
123
125 126
126
129
28361
2882377451 2905409937 29285 62055 |39516 56504 29747 50585
130129978 45198 1351/30209 40343 132{30440 360920 133|30671 32228 134|30902 28968 135|31133 26240 136 31304 14044 137]31595 22390 1383182671247 139|32057 20647 140]32288 20578 141{3251921041I 142{32750 22036 143]32981 23563 144/3733212 25622
145|33443 28213 146 3307431336 147|33905 34991
148|34130 39178 149/34367 43897
150 3498 49140
151/3
295493!
152/3506061246 153|35291 68093 154|3552275472 155|3575383383
15613598
158
91826 35216 00801 36447 1030
159|36678 2034 160|36909 30920 161}3714042034 162137371 53660 16313760265828
164|37833 78528
165 166 16
6
189 170 171 172
3806491761 3829605 26 3952719523 3875834652 38989 50013 3922065907 3945182333 39692909291
173|3991416782 174140145 34905 175|40376 53360 276 |40607 72447
176
40838 92067 4107012219
179'41301 32904
4074|091423 124|28592 85497
091954 092486 093018 093549 094081 094613
095145 O950n7 09620
096740 097272 097804 290310 098367 099400 099931 100463 100995 101527 1032059 102591 103123 LI 104187 104719 105251 105783 106315 106347 107379 toz9ii 108443 108975 409508 110039 110$72
sSiIIO 11163 112168 112700 113333 113705 114297 114829 115361 115894 116426 116958 117491 118023 118555 119087 129620 120152 120685 121317
Primo Caso, allorchè i primi cingne. decimali del dat Logaritmo | fi trovano nella Colonna L. della Tavoletta.
Sia / il Logaritmo che in quefta Tavoletta conviene co dato / nelle prime cinque figure; fia »' il fuo numero; fia — l—- d la differenza tra i due Logaritmi, e fia d’ la diffe irenza che fi trova nella linea ftefla di w°. Si fa che rover ‘fciando la proporzione ritrovata nel Prob. I. IV., come fi pra ticò nel Prob. lI. II. Ef. 1. ec., abbiamo la feguente analogia
I
la differenza tra 1 Logaritmi contigui al dato ( =) fre
alla differenza dei loro numeri (d'), come la differenza tra i
«dato Logaritmo ed sl minor contiguo (d) alla differenza de
loro numeri (nn): cioè
rd: d:n-—n'; dunque il numero cercato 500000 |
| s=#n + dXd'X 100900
Efemp. Sia /=0,000069331137712
| == #:000060000000000 ,. +. = 1300013 8164(
I =d==0,000009331137742
dX 100000== 09331137712
d' = 010000230293 | . onde dX d'X 100000 è . è è è è + ==0;000021489
e fommando fi avrà . . +. è +. #== 1000159653! onde il numero cercato a cagione della caratteriftica o (ez 291) è 1,0001596536, come nuovamente ce ne aflicurerenu nel feguito. °
Ssconno Caso, allorchè i primi cinque decimali del dat Logaritmo non fi trovano nella Colonna L. della Tavoletta .
| Sia /” il Logaritmo che tra i primi 1000 della gran Ta vola è proflimamente inferiore al dato, e fia n°” il fuo nume ro.Sottraendo /” da / fi avrà un nuovo Logaritmo /—/" =", e fe i fuoi primi cinque decimali fieno tra i limiti del Ja Tavoletta, potrà averfene con l’efpofto metodo il numer 184. Sarà dunque !"+/"(—=/)=Ls"+Ls”="L7x, cio Ln”n=Ln.e quindi il numero cercato s=n" n". _
Esemp. Sia /==10,594649534969036 prof: inf. ! == 10,594392550375427==L393, onden"—=39
I1_-|"==l"== ©,000256984593609 ;
‘0000256984593 609 #,000250000000000...#" == 1,0005758120
104 } O = rl ——_o [) —
l'-—l' =d== 0,000006984593609 dX 100000 = 0,6984593609
d' => 030000230394 onde dX d'X 100000 . è . . + è + ==-0,00001690921
Sa,
e fommando fi avrà .- . >. è». +. + .n°== 1,0005919041 onde infine . . . . 0. . n°n"==n= 39323261831 {je perciò il numero cercato #, attefa la caratteriftica 10, fa- rà 39323261831
Terzo Caso, allorchè fottraendo dal dato Logaritmo il Lo- garitmo proffimamente inferiore , i primi cinque decimali del nuo-| vo Logaritmo non fone tra î limiti delle Tavoletta.
Sia ( il Logaritmo che tra i primi 1000 della gran Tavola è proflimamente fuperiore al Complemento del data, e fia #°” il fuo numero. Sommando “” con / fi avrà un nuo- vo Logaritmo /-+/=/", di cui potrà averfi col folito] metodo il numero n°. Sarà dunque /”-+/(=/)=Lpg" -+Ln=Ln", cioè Lan”=Ln", e però il numero cercato
n° |
1 — «—— (4 9
Esemp. Sia / =0:035684021356490 . . Co-! +,964315978643510 prof. fup. al Co., l’”=0,964730921053609 = L 923;0nde n° = 922
Ll+ [> pro if +3000414942410119 l =#+,000410000000000 ... Ls... 1,0009445057
PP =d= 0,000004943410119 d X 100060 —0,4942410t19 ' 220,0000270479 onde dx d'x 100000 0 0 0 0 0 0 0 0 , =20:00001539F1
e fommando fi avrà . . . +... #"=31,0009558968
ti %
onde infine . . . . . 0... -——8= 10856354629
%
e però il numero cercato n, a cagione della caratteriftica 0, farî 1,0856354629. |
3°. Non è che la foprappofta Tavoletta (i euì Numeri |
poffono facilmente eftenderfi a venti cifre ) non vaglia anche
a trovare # con un maggior numero di figure fe occorra:
ma le operazioni divengono così lunghe e complicate, che
i —1_=—24%#{ {#————_————_—_——____——————m—È_tÉb— ———m——_ nnt
ftimiamo meglio in tali cafi di ricorrere alla nota equazione
L* n Lis L*n azi+Lat4 — + + ec. (Zez. 306). Ve-
.rificheremo con effa ed aumenteremo le cifre dei Numeri poco fa trovati: ma farà bene il far prima le feguenti offervazioni. I Giacchè quefta equazione fuppone cangiato in iperbolico il dato Logaritmo ordinario , porremo quì per facilitarne la ridu- ‘zione, i moltiplici fino a 9 del numero 2,30258509299404568402, ‘per cui debbonfi moltiplicare gli ordinarj Logaritmi onde divengano iperbolici ( Zez. 304); e per fervire al confueto compendio di moltiplicazione (Lez. 79), gli diftribuiremo così.
:TaJ3lo12!s]8{sle]9]2/9/9]4]0]4]s|6]8]|4]|o]2 14]6]o|5{1]7]0[1{8{5|{9[8[8]o|9{x|3[6}8]0]4 16|9/0]7{7]<|s}2|[7]8]9[8[2]x]3]7[o]{5s]2|]0|[6
|{9]2{1]o]3]4]01317]11{9{716]x}8}2]7]13]6]0]|8
{1} s{s}x{2]9{215s}4}6[41]9][7][0|212]8]4]2{o[1]o
1] 3/8|x[s[s]x{o]s]s{71916]4{2]7]4{r]o]4]}t]a
:]6[1[1]8][o|9|5|]6|s[o{9]5{[8]3{119{[7|[8|8{r{4
:1814|2]0]6{8{0o{7|4{[3[9{[5{2]316}5[41j7][2|r|6
ialol7s/zia[slsisialsiole/sialvis[sisisitis
0 cu Aa dh vv w =
Inoltre fe i primi decimali del Logaritmo ridotto fieno ‘cifre grandi come 5,67, ec. fi faranno i moltiplici fino a 9 :del Logaritmo trasformato : cercandofi le diverfe potenze di effo, ‘il calcolo farà così più ficuro e più breve.
In terzo luoso , qualunque fia la caratteriftica del dato ‘Logaritmo , ella nel calcolo dee fempre fupporfi o.
Infine la ferie Li +1 + DIA ec. fi calcolerà con mol-
2 5 ito compendio adoprando il metodo che fi è tenuto nei feguenti
Esempi. Sia /== 010000100000000200000. Cangiato quefto Logaritmo in iperbolico, fi troverà... 1 A LUno . è è. 0 0 + è ==20300002730258509299405
R mos =LnxÈ e 0 0 e = 090C00000002650949055 De = Ln xa e è | e è =,0,0000900000000020347 3. i
aeree
fomma,come fopra nella Tavoletta n= 1,0000230261160268807
D
OssERVAZIONI » 13. Quando le parti non fi trovano efar- tamente nella Tavoletta, come fe fia / = 9,7958826=L fen, ilcui proffimamente inferiore è 9,7958686 =L fen 38° 40° 50” e le parti fon 180 , differenza 263» cerco i fecondi dati da que-| fte parti con la proporzione inverfa del Prob. I. IX. 07 1., o
cioè 263:10°:: 180: oo = 0",844. Che fe inoltre voglio
. . ® ° (i 8 o. . e ridurre a minuti il rotto decimale tt, ne moltiplico i due
2 c# 5064 termini per 6 e diviene2-—, che, foppreffe fopra e fotto l'
ultime due cifre, fi riduce ( Lez. 88) a == s1””;onde . . 9,7958826 =L/en 38° 40° 56” 51°”.
23 Se £ fia il Logaritmo della fecante o cofecante, le for- mule L fee a=20,0000000 —Lceof 4, e Lcofec a= . 20,0000000 —— L /en a ( Lez. 566) danno fubito 20,0000000 — L fee a=Lcof 4, e 20,0000000 ——Lcofec a=Lfen a. E quando / foffe il Logaritmo del feno verio, dalla formula
R fen v. p = 2fen° — p (Lex. ss5) fr avrebbe . . . . ai
® TIE de PIE PRU I ii
AVVERTIMENTO
Coi metodi fteffi fiavrebbe il numero corrifpondente ad un dato Logaritmo Iperbolico : ma non faranno praticabili fen- za varie particolari avvertenze per la caratteriftica, ed una Tavola più eftefa dei Logaritmi Iperbolici.
Supplifca intanto alla mancanza la generale equazione;
3 3 4 3u=1 ALn + tuto Le ec., la quale coine fi fa
( Lez. 306) ferve primitivamente a conofcere per mezzo del dato Logaritmo Iperbolico il numero che gli corrifponde.
. tt
OY PON P0N - ta PI 0000
IAVOLA
D È I
LOGARITMI ORDINAR)] DEI NUMERI
Da 1 fino a 100000.
LO 920 ESTRO
o°| M. o
S.| |N. Logarit.
i "| 00000 00000 00000 00000 2 30102 99956 63981 19521 3 4771212547 19662 43730 4 6020£ 99913 27962 39043
Sl |__| S9997 00043 3001880479 6 7815 125037 83643 63251 ” dis06 sog00 14256 4 RA 8 90308 99869 91943 53564 9 95424 25094 39324 87459
to 00000 00000 00000 odbdoo
It 04139 26851 58225 04075
12 07918 12460 47624 82772
13 11394 33533 06834 76921
14 14612 80356 78238 0259}
15 1200932390 3931-242308
16 20411 pods° 55924 78085
17 23044 89213 78273 92854
18 25527 25061 03108 06980
19 27875 36009 52828 96154
soli Si 3210890090 03991 F9sat
21 32221 92947 33919 26801
22 34242 26808 22206 23596
23 36172 78360 17592 87887
24 38021 12417 11606 02294
251 |__| 39794 00086 72037 60957
26 + | 44497 32479 70817 96442
27 431363764! 58987 31189
28 44715 30313 42219 22114
29 39 79973 98956 08733
30 |__| 47712 12547 19662 43730
31
sal
—|27315 12503 83643 65251
49136 LOSi? 34372 67967 $O$14 997 } 19905 97607 51851 39398 77887 47805 53147 39170 43255 12375
34400 90443 50275 63550
55630 25007 67387 26502 56820 17240 66994 99681 57978 35966 16810 15675 sglofi 46070 26499 20650
0205 99913 27952 39043
—r ———n11——_— "———_—— —@ —zs ———. cu.
66275 78316 81574 07408 67209 78579 35717 46441 68124 53373 75587 21815 69019 60800 28543 66142 L9897 00043 360.8 825479 70757 91760 97935 36584 71600 334.36 34709 15963 72427 58696 00789 04563 73239 37598 22958 50710 74030 26894 94245 84554 74818 80270 06200 41635 75587 48556 72491 39883 70342 79935 62937 28255
7585 20156 42144 19026
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